金华市图书馆 三角八線筭法
| 内容出处： | 《乾象彙編》 古籍 |
| 唯一号： | 110720020230005500 |
| 颗粒名称： | 三角八線筭法 |
| 分类号： | P1-09 |
| 页数： | 2 |
| 页码： | 三一七-三三二 |
| 摘要： | 本文是一篇关于数学和天文学算法的文章，主要讨论了割圆八线表、三角算法、黄赤道各节距纬度分、算表之法、漏刻壶漏化度等多个主题。文章首先介绍了割圆八线表的算法和应用，包括使用算珠、算筹、算笔等方法进行计算，以及利用正弦、余弦等三角函数进行数值计算。接着，文章阐述了三角算法的原理和应用，通过四个图例说明了如何利用已知三率求四率的方法，以及如何利用正弦求解黄赤距纬。最后，文章讨论了算表的方法和漏刻壶漏化度的原理，展示了数学和天文学在实际应用中的紧密关系。 |
| 关键词： | 天文学 天文 测量方法 |
内容
髙厚蒙求数學中割圆八線表猶農夫之耒耜匠氏之斧
斤也欲筭髙弧必從此始案作表之法有三一用算珠筭
籌算筆算皆可憑六宗三要開方諸術其法甚難得數最
為明確一用量量與算殊途同歸惟不能盡正弧九十度
各度之六十分共五千四百分故量不如算一則量算皆
用其法於楮上畫一尋丈大弧匀分五千四百分定象限
之半徑為一千萬分先量取正弦餘弦兩数據此兩數乘
除出切割各線之數最為簡便正弦餘弦不出弧限用量
則便若切割諸線均出弧外量則不能無差故必用算既
得各弧度正弦餘弦兩線之數如欲求某弧度之正切線
即以其度之餘弦数歸除正弦得数便是正切線如欲求
某弧度之餘切線即以其度之正弦數歸除餘弦得數便
是餘切線如欲求正割線則以餘弦為法歸除半徑凡全
徑二百半徑是一百得数便是正割欲求餘割則以正弦
為法歸除半徑得数便是餘割若以正弦数減半徑数便
得餘矢数以餘弦数减半徑数便得正矢数得此八線各
数而其用無窮矣算八線表法大測中另有偹論其大畧
不過如是〇以上八線算法
又欲算三角湏知以三率求四率法非此雖有八線各数亦不能求特載四則
為求黄赤距緯之本其法先當認清原有数已知之数今有数原有数中設問之数
亦是已知之数同類數原有数中有同類者如勾與勾股與股弧與弧之類三項而後審巳
知三率中取原有数之有同類者定為第一率備歸除之
法位
如圖有已知之大股十八尺大勾十二尺於十八尺中截
小股九尺問未知之小勾若干法曰大股為原有数而與
小股為同類定為第一率按大勾亦中無同類堤原有数而於三率
小股雖與大股為同類而是截以設問之今有故均不可為第一率
次以第二率尺二第三率第三綠九尺相
乘得数一〇八而以大股十八尺歸除之一百零八数十八数為者六
便知小勾為六尺
如圖有已知之小股九尺小勾六尺小股外餘長九尺共
十八尺問未知之大勾若干法曰小股為原有数而與餘
長大股為同類定為第一率第一圖之大股十八尺為原有数此為截以設問之数應
變為今有數故不可為第一率次以第二率六第三率尺十八相乘得數一
八而以小股九尺歸除之為九尺者者十二便知大勾為十二尺
圖二
如圖有已知之大勾十二尺大股十八尺截小勾六尺問
未知之截小股若干法曰大勾為原有数而與小勾為同
類定為第一率次以第二率尺八第三率六相乘得數一
〇八而以大勾十二尺歸除之為十二者九便知小股為九尺
圖三
如圖有已知之大勾十二尺小股九尺小勾六尺問未知
之長股若干法曰小勾為原有数而與大勾為同類定為
第一率大勾雖與小勾為同類而為截以設問之数則是今有数而非原有數故不可為第一率次以
第二率十二尺第三率九相乘得数一○八而以小勾六尺
歸除之為六者十八便知長股為十八尺
圖四
即此四則參互相求可知既有已知之三率便可求未知
之四率此惟是平三角不必憑八線以相求若黄赤距緯
湏藉正弦以求與此微異以上三角算法
黄赤道各節距緯度分前已有圖見測北極條但彼用量此用
算而算則得数更為確實其法只須以周徑二十四節截
一象限之黄赤道以見例既得一象限六節氣之距緯則
其餘三象限之各節皆同
如圖甲為黄道一象限甲丙為赤道一象限甲為春分
乙為夏至乙丙為黃赤道相距最遠之度新測相距二十三度二十九分秒今設問立夏節距緯若干度法以巳知之半徑九十
度之弦一千萬為第一率此是原有数與設問之四十五度甲丁為同類次以
乙丙大距度巳知数之正弦三九八六一五七此弧度二十三度二十九
分三十秒之正弦数正與立夏甲丁之正弦七七一四六八此四十五度之弦
為第二第三率相乘得正弦数二八一八六三九便見
立夏節黃赤距緯為十六度二十二分十七秒也
又如設問清明節之距緯若干度法亦以一千萬為第一
率次以乙丙大距度之正弦三九八六一五七及清明甲
乙之正弦二五八八一九〇十五度為第二第三率相乘得
正弦数一四三三八便見清明節黄赤距緯為五度五
十五分有奇也
凡二三率相乘以後必以第一率歸
除算書每言而一是言言歸除一遍也此不用歸除
者因第一率為一千萬省一遍歸除
其相乘所得之数已是也此外各節
距緯皆仿此以求以上三角兼八線算法
梅勿庵刊歷算全書第有弧表而於倒直二表有志未成
蓋算表之法甚難欲算高弧道不即自高弧始也湏預明
割圓八線之法次湏明北極出地及赤道之高又當熟求
率之法而後能求各節氣距緯度分又當求各時刻距午
餘弦為求高弧張本而後定卯酉正弦数以加減之既得
卯酉正弦而後高弧午正前後各度分皆可循序而得高
弧弧既定便可憑正餘兩切線定倒直二影度分倒影以勾為表以
任懸一豎尺以定時置一平尺疽影以定時此皆算之表之序也以上算
表之法
漏刻壺漏化度為漏古刻分白今刻分日出早晚矇影軌星儀
夏官挈壺氏縣壺以序聚榛以水火守之分以曰夜註世
主挈壺水以為漏以水守壺者為沃漏也以火守壹者夜
則火視刻數也分以曰夜者異晝夜漏也 易氏祓曰挈
壺以唐制推之水海浮箭四匱注水始自夜天池以入於
曰天池自曰天池以入於平壺以次相注入於水海浮箭
而上以浮箭為刻分畫夜計十二時每時八刻二十分每
刻六十分箭四十八二箭當一氣箭通率七日半强而易一
歲統二百一十九萬一千五百分悉刻於箭上銅烏引水
而下注浮箭而上登以上壺漏
隋書志昔黄帝創觀漏水制器取則以分畫夜其後因以
名官周禮挈壺氏則其職也其法總以百刻分於畫夜冬
至畫漏四十刻夏至畫漏六十刻春秋二分畫夜各五十
刻日未出前二刻半而明既沒後二刻半乃昏減夜五刻
以益晝漏謂之昏旦漏刻皆隨氣增損畫有朝有禺有中
有晡有夕夜有甲乙丙丁戊 顏氏家訓漢魏以來謂甲
夜乙夜丙夜丁夜戊夜亦云一更二更三更四更五更皆
以五為節 困學紀聞晉司天臺奏漏刻經云晝夜一百
刻六十分為一刻一時有八刻二十分四刻十分為正前
十分四刻為正後二十分中心為時正上古以來皆依此
斤也欲筭髙弧必從此始案作表之法有三一用算珠筭
籌算筆算皆可憑六宗三要開方諸術其法甚難得數最
為明確一用量量與算殊途同歸惟不能盡正弧九十度
各度之六十分共五千四百分故量不如算一則量算皆
用其法於楮上畫一尋丈大弧匀分五千四百分定象限
之半徑為一千萬分先量取正弦餘弦兩数據此兩數乘
除出切割各線之數最為簡便正弦餘弦不出弧限用量
則便若切割諸線均出弧外量則不能無差故必用算既
得各弧度正弦餘弦兩線之數如欲求某弧度之正切線
即以其度之餘弦数歸除正弦得数便是正切線如欲求
某弧度之餘切線即以其度之正弦數歸除餘弦得數便
是餘切線如欲求正割線則以餘弦為法歸除半徑凡全
徑二百半徑是一百得数便是正割欲求餘割則以正弦
為法歸除半徑得数便是餘割若以正弦数減半徑数便
得餘矢数以餘弦数减半徑数便得正矢数得此八線各
数而其用無窮矣算八線表法大測中另有偹論其大畧
不過如是〇以上八線算法
又欲算三角湏知以三率求四率法非此雖有八線各数亦不能求特載四則
為求黄赤距緯之本其法先當認清原有数已知之数今有数原有数中設問之数
亦是已知之数同類數原有数中有同類者如勾與勾股與股弧與弧之類三項而後審巳
知三率中取原有数之有同類者定為第一率備歸除之
法位
如圖有已知之大股十八尺大勾十二尺於十八尺中截
小股九尺問未知之小勾若干法曰大股為原有数而與
小股為同類定為第一率按大勾亦中無同類堤原有数而於三率
小股雖與大股為同類而是截以設問之今有故均不可為第一率
次以第二率尺二第三率第三綠九尺相
乘得数一〇八而以大股十八尺歸除之一百零八数十八数為者六
便知小勾為六尺
如圖有已知之小股九尺小勾六尺小股外餘長九尺共
十八尺問未知之大勾若干法曰小股為原有数而與餘
長大股為同類定為第一率第一圖之大股十八尺為原有数此為截以設問之数應
變為今有數故不可為第一率次以第二率六第三率尺十八相乘得數一
八而以小股九尺歸除之為九尺者者十二便知大勾為十二尺
圖二
如圖有已知之大勾十二尺大股十八尺截小勾六尺問
未知之截小股若干法曰大勾為原有数而與小勾為同
類定為第一率次以第二率尺八第三率六相乘得數一
〇八而以大勾十二尺歸除之為十二者九便知小股為九尺
圖三
如圖有已知之大勾十二尺小股九尺小勾六尺問未知
之長股若干法曰小勾為原有数而與大勾為同類定為
第一率大勾雖與小勾為同類而為截以設問之数則是今有数而非原有數故不可為第一率次以
第二率十二尺第三率九相乘得数一○八而以小勾六尺
歸除之為六者十八便知長股為十八尺
圖四
即此四則參互相求可知既有已知之三率便可求未知
之四率此惟是平三角不必憑八線以相求若黄赤距緯
湏藉正弦以求與此微異以上三角算法
黄赤道各節距緯度分前已有圖見測北極條但彼用量此用
算而算則得数更為確實其法只須以周徑二十四節截
一象限之黄赤道以見例既得一象限六節氣之距緯則
其餘三象限之各節皆同
如圖甲為黄道一象限甲丙為赤道一象限甲為春分
乙為夏至乙丙為黃赤道相距最遠之度新測相距二十三度二十九分秒今設問立夏節距緯若干度法以巳知之半徑九十
度之弦一千萬為第一率此是原有数與設問之四十五度甲丁為同類次以
乙丙大距度巳知数之正弦三九八六一五七此弧度二十三度二十九
分三十秒之正弦数正與立夏甲丁之正弦七七一四六八此四十五度之弦
為第二第三率相乘得正弦数二八一八六三九便見
立夏節黃赤距緯為十六度二十二分十七秒也
又如設問清明節之距緯若干度法亦以一千萬為第一
率次以乙丙大距度之正弦三九八六一五七及清明甲
乙之正弦二五八八一九〇十五度為第二第三率相乘得
正弦数一四三三八便見清明節黄赤距緯為五度五
十五分有奇也
凡二三率相乘以後必以第一率歸
除算書每言而一是言言歸除一遍也此不用歸除
者因第一率為一千萬省一遍歸除
其相乘所得之数已是也此外各節
距緯皆仿此以求以上三角兼八線算法
梅勿庵刊歷算全書第有弧表而於倒直二表有志未成
蓋算表之法甚難欲算高弧道不即自高弧始也湏預明
割圓八線之法次湏明北極出地及赤道之高又當熟求
率之法而後能求各節氣距緯度分又當求各時刻距午
餘弦為求高弧張本而後定卯酉正弦数以加減之既得
卯酉正弦而後高弧午正前後各度分皆可循序而得高
弧弧既定便可憑正餘兩切線定倒直二影度分倒影以勾為表以
任懸一豎尺以定時置一平尺疽影以定時此皆算之表之序也以上算
表之法
漏刻壺漏化度為漏古刻分白今刻分日出早晚矇影軌星儀
夏官挈壺氏縣壺以序聚榛以水火守之分以曰夜註世
主挈壺水以為漏以水守壺者為沃漏也以火守壹者夜
則火視刻數也分以曰夜者異晝夜漏也 易氏祓曰挈
壺以唐制推之水海浮箭四匱注水始自夜天池以入於
曰天池自曰天池以入於平壺以次相注入於水海浮箭
而上以浮箭為刻分畫夜計十二時每時八刻二十分每
刻六十分箭四十八二箭當一氣箭通率七日半强而易一
歲統二百一十九萬一千五百分悉刻於箭上銅烏引水
而下注浮箭而上登以上壺漏
隋書志昔黄帝創觀漏水制器取則以分畫夜其後因以
名官周禮挈壺氏則其職也其法總以百刻分於畫夜冬
至畫漏四十刻夏至畫漏六十刻春秋二分畫夜各五十
刻日未出前二刻半而明既沒後二刻半乃昏減夜五刻
以益晝漏謂之昏旦漏刻皆隨氣增損畫有朝有禺有中
有晡有夕夜有甲乙丙丁戊 顏氏家訓漢魏以來謂甲
夜乙夜丙夜丁夜戊夜亦云一更二更三更四更五更皆
以五為節 困學紀聞晉司天臺奏漏刻經云晝夜一百
刻六十分為一刻一時有八刻二十分四刻十分為正前
十分四刻為正後二十分中心為時正上古以來皆依此
