金华市图书馆 内容
續金華叢書
元 趙友欽撰
小罅光景 句股測天
乾象周髀
小罅光景
室有小罅雖不皆圓而罅景所射未有不圓及至日食則罅景亦如
所食分數罅雖寬則不同景却周徑相等但寬者濃而窄者淡若以
物障其所射之處迎奪光景于所障物上則此景較狹而加濃予始
未悟其理因熟思之凡大罅有景必隨其罅之方圓長短尖斜而不
別乃因罅大而可容日月之體也若罅小則不足容日月之體是以
隨日月之形而皆圓及其缺則皆缺罅漸窄則景漸淡景漸遠則周
徑漸廣而愈加淡大罅之景所遠亦漸廣然不減其濃此則濃淡之
別也假于兩間樓下各穿圓穿于當中徑皆四尺餘右穽深四尺左
穽深八尺置棹案于左穽中案高四尺如此則雖深八尺只如右穽
之淺作雨圓板徑廣四尺俱以蠟燭千餘枝密插于上置穽內而燃
之比其形于日月更作雨圓板徑廣五尺置于穽口地上板心各開
方竅所以方其竅者表其竅小而景必圓也左竅方廣寸許右竅方
廣尺半許所以一寬一窄者表其寬者濃而窄者淡也于是觀其樓
板之下有一圓景周徑所較甚不多却有一濃一淡之殊詳察其理
千燭自有千景其景皆隨小竅點點而方燭在穿心者方景直射在
樓板之中燭在南邊者方景斜射在樓板之北燭在北邊者方景斜
射在樓板之南至若東西皆然其四旁之景斜射而不直者緣四旁
直土之光障礙而不得出從旁達中之光惟有斜穿出竅而巳穽內
既巳斜穿竅外止得偏射偏中之景千數交錯周遍叠砌則總成一
景而圓所以有濃淡之殊者蓋兩處皆千景叠砌圓徑若無廣狹之
分但見其竅寬者所容之光較多千乃景皆廣而疊砌稠厚所以濃
竅窄者所容之光較少千景皆狹而叠砌稀薄所以没于是向右穽
東邊減却五百燭觀其右間樓板之景缺其半于西乃小景隨日月
虧食之理也又減左穽之燭但明二十三枝疎密得所觀其樓板之
景雖是周圍布置各自點點爲方不相黏附而愈淡矣又皆減而但
明明一燭則只有一景而方緣爲竅小而光形尤小竅可可以盡容
其光却爲大景隨空罅之象矣若依舊皆燃左穽之燭則左景復圓
別將廣大之板二片各懸千樓板之下較低數尺以障樓板而迎奪
其景此景較于樓板者歛狹而加濃所以迎奪其景者表其景近則
狹而濃遠則廣而淡也燭火斜射愈遠則所至愈偏則距中之數愈
多圍旁皆斜射所以愈偏則周徑愈廣景之周徑雖廣燭之光焰不
增如是則千景展開而重疊者薄所以愈廣則愈淡亦如水多則味
減也然其板不可測高低偏否則景不正圓而長于是去其所懸之
板舉其左穽連板之燭徹去穽內棹案復燃連板之燭置于穿底而
揜之竅旣遠于燭景則斂而狹所以斂狹者蓋是竅與燭相遠則斜
射之光斂而稍直則景不得不狹景狹則色當濃燭遠則光必薄是
以難于加濃也先論景距竅之遠近此復論燭距之竅遠近景之遠
近在竅外燭之遠近在竅內凡景近竅者狹景遠竅者廣囑遠竅者
景亦狹囑近竅者景亦廣景廣則淡景狹則濃燭雖近而光衰者景
亦淡燭雖遠而光盛者景亦濃由是察之燭也光也竅也景也四者
消長勝負皆所當論者也於是徹去所覆兩穽之板別作圓板二片
徑廣尺餘右片開方竅方廣四寸左片開尖竅三曲皆廣五寸餘各
以索懸于樓板之下令其可以漸高漸低所以漸高漸低者表其景
之遠廣而近狭也仰觀樓板之景左尖右方俯視燭光之形左全右
半此則大景隨空之象各自方尖不隨燭光而圓缺也然穽大而板
竅仍小今喻以爲大罅者蓋穽于板竅較遠遠則雖大猶小竅于樓
板較近近則雖小猶大方尖竅內可以盡容燈光之形也原尖小竅
之千景似乎魚鱗相依周遍布置大罅之景千數此于沓紙重叠不
散張張無參差由此觀之大則總是一穽之景似無千燭之分小則
不覩一穽之全碎砌千燭之景是故小景隨光之形大景隨空之象
斷乎無可疑者
句股測天
句股之術可以測天然高深廣遠難于推步籌策今姑以淺近喻之
塔高十丈未知其數於塔之正東立一木表于表東席地而卧以眼
西望塔頂望見塔頂雖高只與表末相齊于是自塔心量自表根爲
數五丈又自表根量至測望之眼爲數一丈二尺五寸再立後表于
前表正東從後表正東如前望之見塔頂亦與後表之末相齊量得
兩表相遠三丈自後表之根東至測望之眼爲數二丈先量得兩表
皆高二丈有餘從表首下至與眼平只高二丈亦可以算術求其塔
兩表相遠三丈自後之根曰表間前距前表一丈二尺五寸名曰前
後目距後表二丈名曰後景前後兩景相多七尺五寸名曰景差所
以各爲景者蓋是將燈置于塔頂假若雨表有景長短必齊于眼望
之處故以名其數也先以心度云移表三丈而景差七尺五寸卽是
其表每移一丈景差二尺五寸若移前表過西一丈景必誠作一丈
且移過西四丈景必減盡無餘是猶直表于戴日之下則無景也如
此則知塔必與前表相遠五丈以後表名爲小股後景名爲小句句
者矩之短處也股卽木匠之曲尺以塔心距前表之五尺通併表間
三丈則知塔心距後表八丈更加後景二丈共計十丈名爲大句塔
頂高數名爲大股以小句股作大勾股之則例既然小句二丈而小
股二丈則知大句十丈大股必十丈矣若不用後表後景爲小句股
而求塔高前表前景亦可用也以前表二丈爲小股前景一丈二尺
五寸爲小句前景一丈二尺五寸通前表距塔心之數五丈共六丈
二尺五寸爲大句塔高之數爲大股以小句股爲大句股之則例計
小句之數每一丈爲小股一丈六尺今大句六丈二尺五寸大股必
十丈矣若或顯言塔遠之數五丈止立一表以測塔高者如前名作
小句股却以大句求大股而爲塔高此一表之術乃先知塔遠而止
求塔高若前兩表之術則皆未知所以先求塔遠而卻憑塔遠以求
塔高也旣可將遠求高亦可將高求遠今以畫圖言之畫一基枰縱
橫各寸寸每眼此一丈總爲百眼如此則縱橫各有十一畫邊西第
一直畫塗紅喻爲塔高十丈邊東第三直畫偏低塗靑喻爲後表二
丈當中直畫偏低塗黃喻爲前表二丈于後表之東橫底塗青喻爲
後景二丈景末作一圈喻爲後目于前表之東橫底塗黄喻爲前景
一丈二尺五寸景末作一圈喻爲前目從前目斜畫一線向西而高
至塔頂名爲前大弦後木亦如前畫爲後大弦此兩條弦非寔有物
乃眼繩也謂之弦者蓋矩曲畧似乎弓兩端斜距之數則似弓消安
弦兩表之末必與斜弦相凑可比兩表之末俱與塔頂相齊以圖觀
之眼繩兩條合尖于塔頂漸低則漸開至地平而開廣三丈七尺五
寸表末只開廣三丈如此則是歛窄七尺五寸計高一表之數二丈
以心度云眼繩于地平開廣三丈七尺五寸若將歛窄盡絕則至塔
頂而高五表之數每表高二丈則知塔高十丈矣十丈爲股用之求
大句者則亦以小句股爲則例而求之後表小股二丈而小句亦二
丈如此則大股十丈可知大句必十丈矣大句卽是塔遠後目之數
前表小股二丈而小句一丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺一
寸五分今大股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句卽是塔
遠前目之數先巳知大股而止求大句者不須兩表之小句股但用
一表之小句股爲則例而求之乃先知塔高而止求塔遠也大句大
股巳得其數亦可求大弦乃眼繩之斜長卽人目距塔頂之斜遠也
欲求其數不可不明其乘除開方所謂乘者七其八得五十六名曰
七乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二與三十相乘則得
三百六十所謂自乘者三其三爲九或十其十爲百或百其百爲萬
或十九自乘十九則爲三百六十一凡自乘之數名曰冪冪是覆物
之中方而有眼數自乘之數必方故名爲冪所謂除者七除其五十
六各得八乃置五十六如七而一則爲八也或八除其五十六各得
七乃置五十六如八而一則爲七也或十二除其三百六十而得三
十謂之如十二而一或三十除其三百六十而得十二謂之如三十
而一或三除其九而得三或十除其百而得十或百除其萬而得百
皆日除也所謂開方者九而開方而得三或百而開方得十或萬而
開方得百或三百六十一而開方縱橫皆得十九是謂開方也凡巳
乘之數除則復元巳除之數乘則復元今求眼繩斜長之數當用句
股求弦之術其術曰句自乘名句冪股自乘名股釋兩冪相併爲弦
冪則爲平方卽得其弦凡以丈尺求者宜攺爲寸數以算之今以移
表所測大勾十丈準爲大勾一千寸其一千寸共乘得一百萬寸名
曰勾冪大股數同名爲股義相併得二百萬寸名爲弦槃開爲平方
得後大故乃一千四百一十四寸有奇是後表之眼繩長一十四丈
一尺四寸有除也以前表求前弦者倣之冪二百弦之還萬寸而開
方譬似方磚二百萬片砌于方臺之上東西南北縱橫數之皆廣一
千四百一十四片尚有方磚六百四片若欲用盡無餘則碎之而砌
作大方餘數此術以塔比喻戴曰之下以塔頂喻曰之高以燈景喻
曰景喻月景亦然眾星所無景則人以曰就地望而進之測得三辰
之高可知日月不附著于天而懸虛遲轉若五緯較遠于經里則是
五緯亦懸虛而不附著設或五緯與經星之高遠相齊則是五緯如
磨蟻而右旋矣塔之爲物高數不多兩表相距三丈亦可以測若夫
三辰之高必須兩長相距數百里否則不覺其景差里之爲數長三
百步每步之長伸手一度也浙尺約六准尺約五世間路里迢遙難
取徑直旣然地上量之不直豈能推其三辰高遠是以古人則表景
千里一寸之差猶未親切姑以其術言之然古者制表未情今別定
表之例度併述元有漢法就地中各去南北數百里仍不偏于東西
俱立一表約高丈四于表首之下數寸許作一方竅所以低數寸者
惡其表首景淡也所以方其竅者蓋小竅有景不隨空罅之象必隨
日月之形可以測日月之周徑地其竅外廣兩內伏當中薄如連邊
兩旁如側置滿底之盌形圓而竅方所以然者蓋日光斜射之際恐
其竅枵相妨也竅空之大小當于地上試景而定之直立其表而後
試稍有偏斜則不可準若試而光淡者竅差小也景不圓者竅差大
也須得酌中爲佳若表未細而不可開大竅者以木接之以薄板接
之尤妙蓋爲作測盌之狀也自表根量至空下竅下際其寸數名表
高兩象制度須同不可差異少許同日測表景于正午之時自表根
量地至于空竅下際之景其寸數名曰表景以南北表景之數相減
餘名景差兩表相距路里變作寸數名曰表間各乘南北表景各加
景差而一卽得二表各與戴日之地相距寸數名四平遠南北各以
表景加之所得各以表高乘之各如表景而一卽得日輪頂與戴日
地相距寸數名日日高表表間如景差而一卻如表高亦得日高也
若求日輪底之高者量表高則至空竅上際量表景亦至空竅上際
之景算法並不殊若將日輪頂底之兩高數相減則如日圓之徑以
南北表景各加平遠所得自乘名句冪日高自乘名般羃兩冪相并
名弦冪開爲平方名曰日遠乃南北表竅之景距日斜遠也然南北
各有雨數蓋日輪頂底各距表竅上下之景際其相遠寸數可于南
北各作兩次求之凡測早晚者倣此太陰亦然若謂表高難直者當
併樹兩表構橫木以爲高架橫木之中釘一方環如前表竅之制須
當穩寔不搖拽却懸一直繩以代木表繫于懸虛之中墜石去地寸
許令其急而不緩則直可準矣若測眾星者量表則云于竅心望亦
須在竅心也此句股之法以橫測遠以樹測高乃測高遠也若測廣
遠者則以繩引于地而爲句股句與股皆橫測之若測深遠者高立
表木橫構二平木于表前以橫測遠以樹測深此句股則又有橫樹
之分矣夫測三辰之高遠者必須遠量兩表之間然難于地平直步
要當節節測望地平之遠數却通併以爲表間是以不可不知也
乾象周髀
日之圓徑一度以算術求其周圍計三度一十四分一十六秒月之
周徑比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算術
求其中徑計一百一十六度二十六分五十一秒徑當周中似乎圓
扇夾脊平分兩旁卽是南北二極相距之直數折半計五十八度一
十三分二十五秒有奇乃是六合各距中天之均數天體圓如彈丸
東西南北相距皆然凡相距平分之數皆圓中之徑也古人謂圓徑
一尺周圍三尺方廣一尺邊旁四尺圓象天而天數三方象地而地
數四數分陰陽自然有理後世考究則不然方廣一尺而邊旁四尺
舞可言者若言圓徑一尺而周圍三尺則三尺尚有餘圍三尺而中
徑一尺則一尺爲不足蓋圍三尺徑一尺是六角之田也或謂圓徑
一尺周圍三尺一寸案此劉嶶所推或謂圓徑七尺周圍二十二尺此案
祖冲之所推密率或謂圍徑一百一十三周圍三百五十五案此祖沖之徑所推密率
一尺而周三尺一寸四分猶自徑多圍少徑七尺而周二十二尺却
是徑少周多徑一百一十三而周圍三百五十五最爲精密今求日
周天徑是此法也旣論其異同亦當言其考究之術畫爲百眼棋盤
一眼廣一寸橫十寸名句在于東西相距方圓之內畫爲圓圖是去
其方之四角也圍徑十寸與外方之股數相同周徑名髀圓之髀比
方之股其數同而字義不異但有方圓之別就圓圖之內又畫小方
圖其小四方角不指外方之四角而斜抵東西南北之四正蓋其外
大四方角在于乾坤艮巽其內小四角在于坎離震兌小方四角斜
弦一十寸尚是圓中之體爲數不殊于外方之股以外方而比內方
包容之積相半外方積一百寸內方積五十寸何以知其然蓋將外
方均作四隅而視之一半歸于內一半出于外由是察之圓中之直
體卽內方之斜弦內方旣用爲弦圓中難以名股句股與弦名不可
紊故稱爲髀以别之內方之弦十寸自乘得一百寸名弦冪凡弦冪
必兼得句股兩冪之數今圖方而縱橫相同當以弦冪均爲句股兩
囂各得五十寸而開方卽知句股皆七寸有餘攻究圓圍木起于此
攻究之術將薄紙剪圓而臨于基平之上不須千紙上畫爲方眼但
景映以爲準則然後于此薄紙之上模下之小方以算術展爲圓象
充滿所定之圓圍自四角之方參爲八角曲圓爲第一次若第二次
則求其爲曲十六若第三次則求其爲曲三十二若第四次則求其
爲曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次則求其爲曲一萬六
千三百八十四其初之小方漸加漸展漸滿漸實角數用多而其爲
方者不復方而變爲圓矣故自一二次求之以至一十二次可謂極
其精密若節節求之雖至千萬次其數終不窮須當逐節作爲大小
句大小股大小句冪大小股冪小弦小弦冪大弦大弦冪但大弦與
大弦冪不于節次作之畢竟止用本數而巳今先以第一次言之內
方之弦十寸名大弦自乘得一百寸名大弦冪內方之句冪五十寸
名第一次大句冪以第一次大句冪減其大弦冪餘五十寸名第一
次大句冪開方得七寸七厘一毫有奇名第一次大股以第一次大
股減其大弦餘二寸九分二厘八毫有奇名第一較以此較折半得
一寸四分六厘四毫有奇名第一次小句此小句之數乃是內方之
四邊與圓圍最相遠處也以第一次小句自乘得二寸一分四厘四
毫有奇名第一次小句囂以第一次大句囂折半得二十五寸又折
半得十二寸五分名第一次小股囂以第一次小股囂併第一次小
句囂得一十四寸六分四厘四毫有奇名第一次小弦囂以第一次
小弦囂開方得三寸八分二厘六毫有奇名第一次小弦卽是八曲
之一八乘其第一次小弦得三十寸六分一厘有奇是卽八曲之周
圍也此以小數求之不若攺爲大數所以然者蓋求至十二次數之
降者漸小愈小則不便于數名將大弦攺爲一千寸大弦羃攺爲一
一百萬寸第一次大句羃攺爲五十萬寸大股亦如之然後依法而
求若求第二次者以第一次小弦囂就名第二次大句羃以第一次
大股羃減其大弦冪餘爲第二次大股羃開方爲第二次大股以減
其大弦餘爲第二較折半名二次小句此小句之數卽是八曲之邊
與圓圍量相遠處也以第二次小句自乘名第二次小句羃以第二
次大句冪兩折名第二次小股羃以第二次小股冪併第二次小句
冪名第一次小弦冪以第二次小弦冪開方爲第一次小弦卽是十
六曲之一以十六乘其第二小弦卽是十六曲之周圍也以第二次
敬第一次若至十二次亦遞次相倣而巳置第十二次之小弦以第
十二次之曲數一萬六千三百八十四乘之得三千一百四十一寸
五分九釐二毫有奇卽是千寸徑之周圍也置此周圍之數降呼作
三尺一寸四分一釐五毫九絲二忽有奇以一百一十三乘之果得
三百五十五尺故言其法精密要之方爲數之始圓爲數之終圓始
於方方終於圓周髀之術無出於此矣
宋鄱陽趙緣督先生撰革象新書二卷所載皆天官之說浦江宋景
濂先生爲之序義烏王子充氏以其言涉蕪陋重加刪潤其書遂風
行一時原書久佚四庫本自永樂大典錄出與重修本并存今之言
天文學者眾矣類皆取法泰西日臻邃密此本係八千卷樓丁氏鈔
贈先君子藏之行篋有年余亟付手民以質世之潜心天文學者季
樵胡宗㮊
元 趙友欽撰
小罅光景 句股測天
乾象周髀
小罅光景
室有小罅雖不皆圓而罅景所射未有不圓及至日食則罅景亦如
所食分數罅雖寬則不同景却周徑相等但寬者濃而窄者淡若以
物障其所射之處迎奪光景于所障物上則此景較狹而加濃予始
未悟其理因熟思之凡大罅有景必隨其罅之方圓長短尖斜而不
別乃因罅大而可容日月之體也若罅小則不足容日月之體是以
隨日月之形而皆圓及其缺則皆缺罅漸窄則景漸淡景漸遠則周
徑漸廣而愈加淡大罅之景所遠亦漸廣然不減其濃此則濃淡之
別也假于兩間樓下各穿圓穿于當中徑皆四尺餘右穽深四尺左
穽深八尺置棹案于左穽中案高四尺如此則雖深八尺只如右穽
之淺作雨圓板徑廣四尺俱以蠟燭千餘枝密插于上置穽內而燃
之比其形于日月更作雨圓板徑廣五尺置于穽口地上板心各開
方竅所以方其竅者表其竅小而景必圓也左竅方廣寸許右竅方
廣尺半許所以一寬一窄者表其寬者濃而窄者淡也于是觀其樓
板之下有一圓景周徑所較甚不多却有一濃一淡之殊詳察其理
千燭自有千景其景皆隨小竅點點而方燭在穿心者方景直射在
樓板之中燭在南邊者方景斜射在樓板之北燭在北邊者方景斜
射在樓板之南至若東西皆然其四旁之景斜射而不直者緣四旁
直土之光障礙而不得出從旁達中之光惟有斜穿出竅而巳穽內
既巳斜穿竅外止得偏射偏中之景千數交錯周遍叠砌則總成一
景而圓所以有濃淡之殊者蓋兩處皆千景叠砌圓徑若無廣狹之
分但見其竅寬者所容之光較多千乃景皆廣而疊砌稠厚所以濃
竅窄者所容之光較少千景皆狹而叠砌稀薄所以没于是向右穽
東邊減却五百燭觀其右間樓板之景缺其半于西乃小景隨日月
虧食之理也又減左穽之燭但明二十三枝疎密得所觀其樓板之
景雖是周圍布置各自點點爲方不相黏附而愈淡矣又皆減而但
明明一燭則只有一景而方緣爲竅小而光形尤小竅可可以盡容
其光却爲大景隨空罅之象矣若依舊皆燃左穽之燭則左景復圓
別將廣大之板二片各懸千樓板之下較低數尺以障樓板而迎奪
其景此景較于樓板者歛狹而加濃所以迎奪其景者表其景近則
狹而濃遠則廣而淡也燭火斜射愈遠則所至愈偏則距中之數愈
多圍旁皆斜射所以愈偏則周徑愈廣景之周徑雖廣燭之光焰不
增如是則千景展開而重疊者薄所以愈廣則愈淡亦如水多則味
減也然其板不可測高低偏否則景不正圓而長于是去其所懸之
板舉其左穽連板之燭徹去穽內棹案復燃連板之燭置于穿底而
揜之竅旣遠于燭景則斂而狹所以斂狹者蓋是竅與燭相遠則斜
射之光斂而稍直則景不得不狹景狹則色當濃燭遠則光必薄是
以難于加濃也先論景距竅之遠近此復論燭距之竅遠近景之遠
近在竅外燭之遠近在竅內凡景近竅者狹景遠竅者廣囑遠竅者
景亦狹囑近竅者景亦廣景廣則淡景狹則濃燭雖近而光衰者景
亦淡燭雖遠而光盛者景亦濃由是察之燭也光也竅也景也四者
消長勝負皆所當論者也於是徹去所覆兩穽之板別作圓板二片
徑廣尺餘右片開方竅方廣四寸左片開尖竅三曲皆廣五寸餘各
以索懸于樓板之下令其可以漸高漸低所以漸高漸低者表其景
之遠廣而近狭也仰觀樓板之景左尖右方俯視燭光之形左全右
半此則大景隨空之象各自方尖不隨燭光而圓缺也然穽大而板
竅仍小今喻以爲大罅者蓋穽于板竅較遠遠則雖大猶小竅于樓
板較近近則雖小猶大方尖竅內可以盡容燈光之形也原尖小竅
之千景似乎魚鱗相依周遍布置大罅之景千數此于沓紙重叠不
散張張無參差由此觀之大則總是一穽之景似無千燭之分小則
不覩一穽之全碎砌千燭之景是故小景隨光之形大景隨空之象
斷乎無可疑者
句股測天
句股之術可以測天然高深廣遠難于推步籌策今姑以淺近喻之
塔高十丈未知其數於塔之正東立一木表于表東席地而卧以眼
西望塔頂望見塔頂雖高只與表末相齊于是自塔心量自表根爲
數五丈又自表根量至測望之眼爲數一丈二尺五寸再立後表于
前表正東從後表正東如前望之見塔頂亦與後表之末相齊量得
兩表相遠三丈自後表之根東至測望之眼爲數二丈先量得兩表
皆高二丈有餘從表首下至與眼平只高二丈亦可以算術求其塔
兩表相遠三丈自後之根曰表間前距前表一丈二尺五寸名曰前
後目距後表二丈名曰後景前後兩景相多七尺五寸名曰景差所
以各爲景者蓋是將燈置于塔頂假若雨表有景長短必齊于眼望
之處故以名其數也先以心度云移表三丈而景差七尺五寸卽是
其表每移一丈景差二尺五寸若移前表過西一丈景必誠作一丈
且移過西四丈景必減盡無餘是猶直表于戴日之下則無景也如
此則知塔必與前表相遠五丈以後表名爲小股後景名爲小句句
者矩之短處也股卽木匠之曲尺以塔心距前表之五尺通併表間
三丈則知塔心距後表八丈更加後景二丈共計十丈名爲大句塔
頂高數名爲大股以小句股作大勾股之則例既然小句二丈而小
股二丈則知大句十丈大股必十丈矣若不用後表後景爲小句股
而求塔高前表前景亦可用也以前表二丈爲小股前景一丈二尺
五寸爲小句前景一丈二尺五寸通前表距塔心之數五丈共六丈
二尺五寸爲大句塔高之數爲大股以小句股爲大句股之則例計
小句之數每一丈爲小股一丈六尺今大句六丈二尺五寸大股必
十丈矣若或顯言塔遠之數五丈止立一表以測塔高者如前名作
小句股却以大句求大股而爲塔高此一表之術乃先知塔遠而止
求塔高若前兩表之術則皆未知所以先求塔遠而卻憑塔遠以求
塔高也旣可將遠求高亦可將高求遠今以畫圖言之畫一基枰縱
橫各寸寸每眼此一丈總爲百眼如此則縱橫各有十一畫邊西第
一直畫塗紅喻爲塔高十丈邊東第三直畫偏低塗靑喻爲後表二
丈當中直畫偏低塗黃喻爲前表二丈于後表之東橫底塗青喻爲
後景二丈景末作一圈喻爲後目于前表之東橫底塗黄喻爲前景
一丈二尺五寸景末作一圈喻爲前目從前目斜畫一線向西而高
至塔頂名爲前大弦後木亦如前畫爲後大弦此兩條弦非寔有物
乃眼繩也謂之弦者蓋矩曲畧似乎弓兩端斜距之數則似弓消安
弦兩表之末必與斜弦相凑可比兩表之末俱與塔頂相齊以圖觀
之眼繩兩條合尖于塔頂漸低則漸開至地平而開廣三丈七尺五
寸表末只開廣三丈如此則是歛窄七尺五寸計高一表之數二丈
以心度云眼繩于地平開廣三丈七尺五寸若將歛窄盡絕則至塔
頂而高五表之數每表高二丈則知塔高十丈矣十丈爲股用之求
大句者則亦以小句股爲則例而求之後表小股二丈而小句亦二
丈如此則大股十丈可知大句必十丈矣大句卽是塔遠後目之數
前表小股二丈而小句一丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺一
寸五分今大股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句卽是塔
遠前目之數先巳知大股而止求大句者不須兩表之小句股但用
一表之小句股爲則例而求之乃先知塔高而止求塔遠也大句大
股巳得其數亦可求大弦乃眼繩之斜長卽人目距塔頂之斜遠也
欲求其數不可不明其乘除開方所謂乘者七其八得五十六名曰
七乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二與三十相乘則得
三百六十所謂自乘者三其三爲九或十其十爲百或百其百爲萬
或十九自乘十九則爲三百六十一凡自乘之數名曰冪冪是覆物
之中方而有眼數自乘之數必方故名爲冪所謂除者七除其五十
六各得八乃置五十六如七而一則爲八也或八除其五十六各得
七乃置五十六如八而一則爲七也或十二除其三百六十而得三
十謂之如十二而一或三十除其三百六十而得十二謂之如三十
而一或三除其九而得三或十除其百而得十或百除其萬而得百
皆日除也所謂開方者九而開方而得三或百而開方得十或萬而
開方得百或三百六十一而開方縱橫皆得十九是謂開方也凡巳
乘之數除則復元巳除之數乘則復元今求眼繩斜長之數當用句
股求弦之術其術曰句自乘名句冪股自乘名股釋兩冪相併爲弦
冪則爲平方卽得其弦凡以丈尺求者宜攺爲寸數以算之今以移
表所測大勾十丈準爲大勾一千寸其一千寸共乘得一百萬寸名
曰勾冪大股數同名爲股義相併得二百萬寸名爲弦槃開爲平方
得後大故乃一千四百一十四寸有奇是後表之眼繩長一十四丈
一尺四寸有除也以前表求前弦者倣之冪二百弦之還萬寸而開
方譬似方磚二百萬片砌于方臺之上東西南北縱橫數之皆廣一
千四百一十四片尚有方磚六百四片若欲用盡無餘則碎之而砌
作大方餘數此術以塔比喻戴曰之下以塔頂喻曰之高以燈景喻
曰景喻月景亦然眾星所無景則人以曰就地望而進之測得三辰
之高可知日月不附著于天而懸虛遲轉若五緯較遠于經里則是
五緯亦懸虛而不附著設或五緯與經星之高遠相齊則是五緯如
磨蟻而右旋矣塔之爲物高數不多兩表相距三丈亦可以測若夫
三辰之高必須兩長相距數百里否則不覺其景差里之爲數長三
百步每步之長伸手一度也浙尺約六准尺約五世間路里迢遙難
取徑直旣然地上量之不直豈能推其三辰高遠是以古人則表景
千里一寸之差猶未親切姑以其術言之然古者制表未情今別定
表之例度併述元有漢法就地中各去南北數百里仍不偏于東西
俱立一表約高丈四于表首之下數寸許作一方竅所以低數寸者
惡其表首景淡也所以方其竅者蓋小竅有景不隨空罅之象必隨
日月之形可以測日月之周徑地其竅外廣兩內伏當中薄如連邊
兩旁如側置滿底之盌形圓而竅方所以然者蓋日光斜射之際恐
其竅枵相妨也竅空之大小當于地上試景而定之直立其表而後
試稍有偏斜則不可準若試而光淡者竅差小也景不圓者竅差大
也須得酌中爲佳若表未細而不可開大竅者以木接之以薄板接
之尤妙蓋爲作測盌之狀也自表根量至空下竅下際其寸數名表
高兩象制度須同不可差異少許同日測表景于正午之時自表根
量地至于空竅下際之景其寸數名曰表景以南北表景之數相減
餘名景差兩表相距路里變作寸數名曰表間各乘南北表景各加
景差而一卽得二表各與戴日之地相距寸數名四平遠南北各以
表景加之所得各以表高乘之各如表景而一卽得日輪頂與戴日
地相距寸數名日日高表表間如景差而一卻如表高亦得日高也
若求日輪底之高者量表高則至空竅上際量表景亦至空竅上際
之景算法並不殊若將日輪頂底之兩高數相減則如日圓之徑以
南北表景各加平遠所得自乘名句冪日高自乘名般羃兩冪相并
名弦冪開爲平方名曰日遠乃南北表竅之景距日斜遠也然南北
各有雨數蓋日輪頂底各距表竅上下之景際其相遠寸數可于南
北各作兩次求之凡測早晚者倣此太陰亦然若謂表高難直者當
併樹兩表構橫木以爲高架橫木之中釘一方環如前表竅之制須
當穩寔不搖拽却懸一直繩以代木表繫于懸虛之中墜石去地寸
許令其急而不緩則直可準矣若測眾星者量表則云于竅心望亦
須在竅心也此句股之法以橫測遠以樹測高乃測高遠也若測廣
遠者則以繩引于地而爲句股句與股皆橫測之若測深遠者高立
表木橫構二平木于表前以橫測遠以樹測深此句股則又有橫樹
之分矣夫測三辰之高遠者必須遠量兩表之間然難于地平直步
要當節節測望地平之遠數却通併以爲表間是以不可不知也
乾象周髀
日之圓徑一度以算術求其周圍計三度一十四分一十六秒月之
周徑比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算術
求其中徑計一百一十六度二十六分五十一秒徑當周中似乎圓
扇夾脊平分兩旁卽是南北二極相距之直數折半計五十八度一
十三分二十五秒有奇乃是六合各距中天之均數天體圓如彈丸
東西南北相距皆然凡相距平分之數皆圓中之徑也古人謂圓徑
一尺周圍三尺方廣一尺邊旁四尺圓象天而天數三方象地而地
數四數分陰陽自然有理後世考究則不然方廣一尺而邊旁四尺
舞可言者若言圓徑一尺而周圍三尺則三尺尚有餘圍三尺而中
徑一尺則一尺爲不足蓋圍三尺徑一尺是六角之田也或謂圓徑
一尺周圍三尺一寸案此劉嶶所推或謂圓徑七尺周圍二十二尺此案
祖冲之所推密率或謂圍徑一百一十三周圍三百五十五案此祖沖之徑所推密率
一尺而周三尺一寸四分猶自徑多圍少徑七尺而周二十二尺却
是徑少周多徑一百一十三而周圍三百五十五最爲精密今求日
周天徑是此法也旣論其異同亦當言其考究之術畫爲百眼棋盤
一眼廣一寸橫十寸名句在于東西相距方圓之內畫爲圓圖是去
其方之四角也圍徑十寸與外方之股數相同周徑名髀圓之髀比
方之股其數同而字義不異但有方圓之別就圓圖之內又畫小方
圖其小四方角不指外方之四角而斜抵東西南北之四正蓋其外
大四方角在于乾坤艮巽其內小四角在于坎離震兌小方四角斜
弦一十寸尚是圓中之體爲數不殊于外方之股以外方而比內方
包容之積相半外方積一百寸內方積五十寸何以知其然蓋將外
方均作四隅而視之一半歸于內一半出于外由是察之圓中之直
體卽內方之斜弦內方旣用爲弦圓中難以名股句股與弦名不可
紊故稱爲髀以别之內方之弦十寸自乘得一百寸名弦冪凡弦冪
必兼得句股兩冪之數今圖方而縱橫相同當以弦冪均爲句股兩
囂各得五十寸而開方卽知句股皆七寸有餘攻究圓圍木起于此
攻究之術將薄紙剪圓而臨于基平之上不須千紙上畫爲方眼但
景映以爲準則然後于此薄紙之上模下之小方以算術展爲圓象
充滿所定之圓圍自四角之方參爲八角曲圓爲第一次若第二次
則求其爲曲十六若第三次則求其爲曲三十二若第四次則求其
爲曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次則求其爲曲一萬六
千三百八十四其初之小方漸加漸展漸滿漸實角數用多而其爲
方者不復方而變爲圓矣故自一二次求之以至一十二次可謂極
其精密若節節求之雖至千萬次其數終不窮須當逐節作爲大小
句大小股大小句冪大小股冪小弦小弦冪大弦大弦冪但大弦與
大弦冪不于節次作之畢竟止用本數而巳今先以第一次言之內
方之弦十寸名大弦自乘得一百寸名大弦冪內方之句冪五十寸
名第一次大句冪以第一次大句冪減其大弦冪餘五十寸名第一
次大句冪開方得七寸七厘一毫有奇名第一次大股以第一次大
股減其大弦餘二寸九分二厘八毫有奇名第一較以此較折半得
一寸四分六厘四毫有奇名第一次小句此小句之數乃是內方之
四邊與圓圍最相遠處也以第一次小句自乘得二寸一分四厘四
毫有奇名第一次小句囂以第一次大句囂折半得二十五寸又折
半得十二寸五分名第一次小股囂以第一次小股囂併第一次小
句囂得一十四寸六分四厘四毫有奇名第一次小弦囂以第一次
小弦囂開方得三寸八分二厘六毫有奇名第一次小弦卽是八曲
之一八乘其第一次小弦得三十寸六分一厘有奇是卽八曲之周
圍也此以小數求之不若攺爲大數所以然者蓋求至十二次數之
降者漸小愈小則不便于數名將大弦攺爲一千寸大弦羃攺爲一
一百萬寸第一次大句羃攺爲五十萬寸大股亦如之然後依法而
求若求第二次者以第一次小弦囂就名第二次大句羃以第一次
大股羃減其大弦冪餘爲第二次大股羃開方爲第二次大股以減
其大弦餘爲第二較折半名二次小句此小句之數卽是八曲之邊
與圓圍量相遠處也以第二次小句自乘名第二次小句羃以第二
次大句冪兩折名第二次小股羃以第二次小股冪併第二次小句
冪名第一次小弦冪以第二次小弦冪開方爲第一次小弦卽是十
六曲之一以十六乘其第二小弦卽是十六曲之周圍也以第二次
敬第一次若至十二次亦遞次相倣而巳置第十二次之小弦以第
十二次之曲數一萬六千三百八十四乘之得三千一百四十一寸
五分九釐二毫有奇卽是千寸徑之周圍也置此周圍之數降呼作
三尺一寸四分一釐五毫九絲二忽有奇以一百一十三乘之果得
三百五十五尺故言其法精密要之方爲數之始圓爲數之終圓始
於方方終於圓周髀之術無出於此矣
宋鄱陽趙緣督先生撰革象新書二卷所載皆天官之說浦江宋景
濂先生爲之序義烏王子充氏以其言涉蕪陋重加刪潤其書遂風
行一時原書久佚四庫本自永樂大典錄出與重修本并存今之言
天文學者眾矣類皆取法泰西日臻邃密此本係八千卷樓丁氏鈔
贈先君子藏之行篋有年余亟付手民以質世之潜心天文學者季
樵胡宗㮊
